Examen Resuelto de Matemáticas

Resolución de Examen de Matemáticas

Ejercicio 1

1.a) Resolver el sistema:

3x + 5y = 1
x – 3y = 5

Solución paso a paso:

De la segunda ecuación (x – 3y = 5), se despeja x:
x = 5 + 3y.
Sustituyendo en la primera ecuación (3x + 5y = 1):
3(5 + 3y) + 5y = 1
15 + 9y + 5y = 1
14y = -14
y = -1.
Con y = -1:
x = 5 + 3(-1) = 5 – 3 = 2.

Solución final:
x = 2, y = -1.

1.b) Valores de a para que la ecuación x² – 3x + a = 0 no tenga soluciones reales

Una ecuación cuadrática carece de soluciones reales cuando su discriminante es negativa.

Discriminante: Δ = b² – 4ac. En este caso, la ecuación es x² – 3x + a = 0, así que:

b = -3
El coeficiente del término x² es 1 (a efectos de la fórmula, a = 1).
El término independiente es a (para no confundir, lo llamamos c = a).

Entonces: Δ = (-3)² – 4·1·a = 9 – 4a.

Para no tener soluciones reales:
9 – 4a < 0 ⇒ 9 < 4a ⇒ a > 9/4 = 2.25.

Conclusión: la ecuación no tiene soluciones reales si a > 2.25.

Ejercicio 2

2.a) Progresión geométrica con razón positiva

Se conoce:

El cuarto término es 24.
La suma de cuarto, quinto y sexto término es 168.
La razón (r) es positiva.

Sea a el primer término y r > 0 la razón. El término n-ésimo es: T_n = a·r^n-1.

Entonces:

T₄ = a·r³ = 24.
T₄ + T₅ + T₆ = a·r³ + a·r⁴ + a·r⁵ = 168.

Factorizando la suma: a·r³ (1 + r + r²) = 168, y sabiendo que a·r³ = 24, se tiene:

24 (1 + r + r²) = 168 ⇒ 1 + r + r² = 168 / 24 = 7.
Por tanto, r² + r + 1 = 7 ⇒ r² + r – 6 = 0.

La ecuación r² + r – 6 = 0 se factoriza como (r + 3)(r – 2) = 0.
Las soluciones son r = -3 o r = 2. Dado que la razón es positiva, tomamos r = 2.

Para hallar a, use T₄ = a·2³ = a·8 = 24 ⇒ a = 3.

Conclusión: el primer término es a = 3 y la razón es r = 2.

2.b) Interés compuesto vs. interés simple

Se deposita un capital C a rédito anual fijo de 3.5% (i = 0.035) durante 4 años, generando 2212.85€ en intereses con interés compuesto.

Interés compuesto:
El capital final sería C·(1 + i)⁴.
Intereses generados I_compuesto = C ((1.035)⁴ – 1) = 2212.85.

Aproximando (1.035)⁴ ≈ 1.14693, se obtiene (1.035)⁴ – 1 ≈ 0.14693. Por tanto:
2212.85 = C · 0.14693 ⇒ C ≈ 2212.85 / 0.14693 ≈ 15067.05 €.
Interés simple:
I_simple = C · i · 4 = 15067.05 × 0.035 × 4.
Numéricamente, 15067.05 × 0.14 ≈ 2109.39 €.

Conclusión: con las mismas condiciones, se habría generado un interés de aproximadamente 2109.39€ a interés simple (frente a 2212.85€ con compuesto).

Ejercicio 3

3.a) Derivadas

1. Función f(x) = e^(x² – 2x) + e^x

Sea u(x) = x² – 2x.
La derivada de e^u es e^u · u'(x), donde u'(x) = 2x – 2.
Por tanto, d/dx ( e^{x² – 2x} ) = e^{x² – 2x} · (2x – 2).
La derivada de e^x es e^x.

En consecuencia, f'(x) = e^{x² – 2x} (2x – 2) + e^x.

2. Función g(x) = (3x + 2) / (x² – 1)

Aplicamos la regla del cociente:
g'(x) = [ (3)(x² – 1) – (3x + 2)(2x ) ] / (x² – 1)².
Simplificando el numerador:
3(x² – 1) – (3x + 2)(2x) = 3x² – 3 – 6x² – 4x = -3x² – 4x – 3.

Por tanto, g'(x) = [ -3x² – 4x – 3 ] / (x² – 1)².

3.b) Probabilidad de escoger al menos un empleado de Control de Calidad

La empresa tiene 30 empleados: 17 de Desarrollo y 13 de Control de Calidad. Se escogen 2 al azar. Queremos:

P(“al menos uno de Calidad”) = 1 – P(“ninguno de Calidad”).

“Ninguno de Calidad” equivale a escoger 2 de Desarrollo. La probabilidad de elegir ambos de Desarrollo es:

(17/30) × (16/29) = 272/870 = 136/435.

Por tanto,

P(“al menos uno de Calidad”) = 1 – (136/435) = 299/435 ≈ 0.68736 (68.736%).

Ejercicio 4

Sea la función:

          4 / (x - 3),         para -2 ≤ x < 1
  f(x) =
          2x² - 3x - 1,        para  1 ≤ x ≤ 3

4.a) Continuidad y derivabilidad

Dominio: [ -2, 3 ]. Se analiza la unión en x=1.
Continuidad:
- Límite por la izquierda en x=1 (primer tramo):
  lim (x → 1^-) [4 / (x - 3)] = 4 / (1 - 3) = 4 / (-2) = -2.
- Valor en x=1 por el segundo tramo (2x² - 3x - 1):
  2(1)² - 3(1) - 1 = 2 - 3 - 1 = -2.
Coinciden, luego es continua en x=1. En cada tramo por separado también es continua, así que f(x) es continua en todo [ -2, 3 ].
Derivabilidad en x=1:
- Derivada primer tramo: f'(x) = d/dx (4 / (x - 3)) = -4 / (x - 3)².
  En x=1: f'_izq(1) = -4 / (1 - 3)² = -4/4 = -1.
- Derivada segundo tramo: 2x² - 3x - 1 ⇒ f'(x) = 4x - 3.
  En x=1: f'_der(1) = 4(1) - 3 = 1.
Como -1 ≠ 1, no coincide la derivada lateral. Por tanto, no es derivable en x=1.

4.b) Esbozo de la gráfica y extremos absolutos

Primer tramo (-2 ≤ x < 1): f(x) = 4/(x - 3).

Es una rama hiperbólica con asíntota vertical en x=3, aunque nosotros solo consideramos x hasta 1.
f'(x) = -4 / (x - 3)² es negativa, así que el tramo es decreciente.
Valor en x=-2: f(-2) = 4 / (-5) = -0.8.
Al acercarse a x=1 por la izquierda: f(1^-) = -2.

Segundo tramo (1 ≤ x ≤ 3): f(x) = 2x² - 3x - 1.

Es una parábola "hacia arriba" (coeficiente 2 > 0).
f'(x) = 4x - 3. En [1,3], 4x - 3 > 0 para x > 3/4, por lo que es creciente en todo ese subintervalo.
f(1) = -2.
f(3) = 2·9 - 3·3 -1 = 18 -9 -1 = 8.

Extremos absolutos en [-2,3]:

f(-2) = -0.8
f(1) = -2
f(3) = 8

El mínimo absoluto es -2 (en x=1). El máximo absoluto es 8 (en x=3).

Ejercicio 5

5.a) Venta de botellas de vino

Se venden 11 botellas en total, con un ingreso de 272€. El vino blanco vale 19€ y el tinto 28€.

Sea x el nº de botellas de vino blanco, y y el nº de botellas de vino tinto. El sistema es:

x + y = 11
19x + 28y = 272

De x + y = 11, sale x = 11 - y. Sustituyendo en 19x + 28y = 272:

19(11 - y) + 28y = 272 ⇒ 209 + 9y = 272 ⇒ 9y = 63 ⇒ y = 7.
Entonces x = 4.

Conclusión: 4 botellas de blanco y 7 de tinto.

5.b) Costes mensuales modelados por N(15000, 2000²)

Los costes X se distribuyen normalmente con media µ=15000 y desviación típica σ=2000. Para asegurar con un 80% de probabilidad que se cubran los costes, necesitamos M tal que:

P(X ≤ M) = 0.80.

Estandarizando, Z = (X - 15000)/2000, se cumple:

P(Z ≤ (M - 15000)/2000) = 0.80.

Buscando el valor z para 0.80, aproximadamente z ≈ 0.84. Entonces:

(M - 15000)/2000 = 0.84 ⇒ M - 15000 = 1680 ⇒ M = 16680.

Conclusión: Se necesitan 16680€ para cubrir con un 80% de probabilidad los costes.

Ejercicio 6

6.a) Inecuación

Resolver:

(x - 3)/2 + (x + 5)/3 ≤ (3x + 4)/(-2).

Llevamos todo al mismo lado e igualamos a 0:

(x - 3)/2 + (x + 5)/3 - (3x + 4)/(-2) ≤ 0.

Para simplificar, multiplicamos toda la inecuación por 6 (que es positivo y no cambia el sentido), teniendo en cuenta cómo afecta al tercer término:

6·[(x - 3)/2] = 3(x - 3) = 3x - 9.
6·[(x + 5)/3] = 2(x + 5) = 2x + 10.
6·[(3x + 4)/(-2)] = (6/(-2))·(3x + 4) = -3(3x + 4) = -9x - 12.

Sumando los dos primeros y restando el tercero, la inecuación se convierte en:

(3x - 9) + (2x + 10) ≤ -9x - 12

Simplificamos la parte izquierda: 3x + 2x = 5x y -9 + 10 = 1, así que 5x + 1 ≤ -9x - 12.

Reagrupando: 5x + 1 + 9x + 12 ≤ 0 ⇒ 14x + 13 ≤ 0 ⇒ 14x ≤ -13 ⇒ x ≤ -13/14.

No hay restricciones adicionales (los denominadores 2, 3 y -2 no son 0), así que la solución es
x ≤ -13/14.

6.b) Medidas de centralización y dispersión

Datos (n=20):

3, 3, 2, 4, 1, 3, 5, 3, 6, 3, 4, 2, 2, 5, 3, 1, 4, 4, 3, 5.

Tabla de frecuencias (valores 1, 2, 3, 4, 5, 6):
- 1: 2 apariciones
- 2: 3 apariciones
- 3: 7 apariciones
- 4: 4 apariciones
- 5: 3 apariciones
- 6: 1 aparición
Moda: valor con mayor frecuencia. Es 3 (7 veces).
Mediana: al ordenar 20 datos, la mediana es la media de los elementos en posiciones 10 y 11. Observando la acumulación, la posición 10 y 11 recaen en el valor 3. Mediana = (3 + 3)/2 = 3.
Media (x̄): Suma total de valores = 1·2 + 2·3 + 3·7 + 4·4 + 5·3 + 6·1 = 66. Con 20 datos, x̄ = 66/20 = 3.3.
Varianza (poblacional): σ² = E(X²) - [E(X)]². Donde E(X) = 3.3. E(X²) = [1²·2 + 2²·3 + 3²·7 + 4²·4 + 5²·3 + 6²·1] / 20.
Numerador: 2 + 12 + 63 + 64 + 75 + 36 = 252. Entonces E(X²) = 252 / 20 = 12.6. Así, σ² = 12.6 - (3.3)² = 12.6 - 10.89 = 1.71.

Conclusiones:

Moda = 3.
Mediana = 3.
Media ≈ 3.3.
Varianza ≈ 1.71.

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