Ejercicios Resueltos: Introducción al Muestreo y Estimación
1. Población {1, 2, 3}. Muestra de tamaño 2 por Muestreo Aleatorio Simple
- Posibles muestras (sin reemplazo, orden no importante):
- {1, 2}
- {1, 3}
- {2, 3}
-
Varianza de las medias muestrales:
Las medias de cada muestra son:
- (1+2)/2 = 1,5
- (1+3)/2 = 2
- (2+3)/2 = 2,5
Media de esas medias: (1,5 + 2 + 2,5) / 3 = 2
Cálculo de
Var( X̄ )= E(X̄²) – (E(X̄))²:- E(X̄²) = (1,5² + 2² + 2,5²) / 3 = (2,25 + 4 + 6,25) / 3 = 4,1667
- Var(X̄) = 4,1667 – 2² = 4,1667 – 4 = 0,1667
Por tanto, Var(X̄) ≈ 1/6.
2. Fábrica con 387 mujeres y 478 hombres. Seleccionar muestra de 100 trabajadores
Tamaño total de la población: N = 387 + 478 = 865.
- Muestreo Aleatorio Simple (MAS)
Numerar los 865 trabajadores y seleccionar 100 al azar (por ejemplo, mediante tablas de números aleatorios o generador aleatorio).
- Muestreo Sistemático
- Ordenar (listar) los 865 trabajadores.
-
Calcular
k = N / n ≈ 865 / 100 ≈ 8,65(aprox. 9). - Elegir un número aleatorio r entre 1 y 9.
- La muestra se forma con los individuos: r, r + k, r + 2k, …, hasta completar 100 personas.
- Muestreo Estratificado Proporcional (por sexo)
- Estrato 1 (mujeres): N1 = 387
- Estrato 2 (hombres): N2 = 478
Tamaño total n = 100.
Para la afijación proporcional:
n1 = (387 / 865) × 100 ≈ 44,7 → 45
n2 = (478 / 865) × 100 ≈ 55,3 → 55
3. Preferencias musicales de una población: entrevistar al 5% (115 niños, 182 jóvenes, 398 adultos)
Total encuestados: 115 + 182 + 398 = 695. Esto es el 5% de la población.
- Número total de habitantes de la población
N = 695 / 0,05 = 13.900
- Cantidad de niños, jóvenes y adultos
- Niños entrevistados: 115 → representan el 5% de todos los niños.
Niños totales: 115 / 0,05 = 2.300 - Jóvenes entrevistados: 182 → 5% de los jóvenes.
Jóvenes totales: 182 / 0,05 = 3.640 - Adultos entrevistados: 398 → 5% de los adultos.
Adultos totales: 398 / 0,05 = 7.960
Comprobación: 2.300 + 3.640 + 7.960 = 13.900
- Niños entrevistados: 115 → representan el 5% de todos los niños.
4.(a) Población {1, 5, 7}. Muestra de tamaño 2 por Muestreo Aleatorio Simple
- Posibles muestras
- {1, 5}
- {1, 7}
- {5, 7}
- Medias de cada muestra
- (1 + 5)/2 = 3
- (1 + 7)/2 = 4
- (5 + 7)/2 = 6
- Varianza de las medias muestrales
Media de las medias: (3 + 4 + 6) / 3 = 4,3333…
E(X̄²) = (3² + 4² + 6²) / 3 = (9 + 16 + 36) / 3 = 20,3333…
Var(X̄) = 20,3333… – (4,3333…)² ≈ 1,5555… = 14/9
4.(b) Población de 300 hombres y 200 mujeres. Muestra de tamaño 30 con afijación proporcional
Tamaño total: 300 + 200 = 500.
Proporción de hombres = 300/500 = 0,6.
Proporción de mujeres = 200/500 = 0,4.
Muestra total: n = 30.
- Hombres en la muestra: 30 × 0,6 = 18
- Mujeres en la muestra: 30 × 0,4 = 12
5. Una variable aleatoria puede tomar valores 20, 24 y 30. Se forman todas las muestras de tamaño 2 (con reemplazo)
- Todas las muestras posibles (9 combinaciones):
- (20, 20)
- (20, 24)
- (20, 30)
- (24, 20)
- (24, 24)
- (24, 30)
- (30, 20)
- (30, 24)
- (30, 30)
- Media y desviación típica de las medias muestrales
Medias de cada muestra:
- (20,20) → 20
- (20,24) → 22
- (20,30) → 25
- (24,20) → 22
- (24,24) → 24
- (24,30) → 27
- (30,20) → 25
- (30,24) → 27
- (30,30) → 30
Media de las medias: (20 + 22 + 22 + 24 + 25 + 25 + 27 + 27 + 30) / 9 = 24,6667…
Para la varianza (Var(X̄)): E(X̄²) – (E(X̄))², y finalmente la desviación típica ≈ 2,91.
6. Estatura de mujeres mayores de edad ~ N(158, 8²). Probabilidad de que la media muestral supere 160 cm
Sea X ~ N(158, 8²). Para muestras de tamaño n, la media muestral X̄ se distribuye aproximadamente:
X̄ ~ N( 158, (8²)/n )
Buscamos P(X̄ > 160), es decir, P (Z > (160 - 158)/σX̄).
-
n = 5
σX̄ = 8 / √5 ≈ 3,58
Z* = (160 – 158) / 3,58 ≈ 0,56
P(Z > 0,56) ≈ 0,29 -
n = 50
σX̄ = 8 / √50 ≈ 1,13
Z* = (160 – 158) / 1,13 ≈ 1,77
P(Z > 1,77) ≈ 0,038 -
n = 500
σX̄ = 8 / √500 ≈ 0,36
Z* = (160 – 158) / 0,36 ≈ 5,56
P(Z > 5,56) ≈ 0 (casi nula)
¡Y esto concluye los ejercicios de introducción al muestreo y estimación! Si tienes cualquier duda adicional, no dudes en preguntar.